Про розподіл максимуму броунівського листа, обмеженого множиною меншої розмірності.
DOI:
https://doi.org/10.34121/1028-9763-2021-3-71-80Ключові слова:
Wiener process, Chentsov random field, Brownian sheet, distribution of the supremum of a Brownian sheet, Doob’s Transformation Theorem, вінерівський процес, поле Ченцова, броунівський лист, розподіл супремума броунівського листа, теорема Дуба про трансформаціюАнотація
У статті освітлені достатні умови для знаходження розподілу функціоналів від n-вимірного броунівського листа (поля Ченцова) на множинах розмірності меншої, ніж розмірність самого поля. Ці результати отримані за допомогою узагальнення відомої теореми Дуба про ідентичність трансформації деякого гауссівського і вінерівського процесів на випадок випадкових полів. Відомо, що розподіл функціоналів від броунівського листа на множинах меншої розмірності, ніж розмірність самого поля, зокрема, таких як супремум на ламаних, призводить до необхідності розгляду досить складних інтегралів, для яких навіть оцінка стає проблемою. В роботі запропонований інший підхід до вирішення цієї задачі. Ми розглядаємо ймовірність того, що супремум броунівського листа є меншим, ніж деяка функція зносу. Отримані результати можуть істотно спростити задачу знаходження розподілу функціоналів від броунівського листа, зводячи її до задачі знаходження розподілу на паралелепіпедах розмірності меншої, ніж розмірність поля. В роботі також запропоновано низку прикладів, які ілюструють справедливість отриманої теореми шляхом моделювання відповідних полів і порівняння емпіричних і теоретичних імовірностей. Для моделювання було використано мову статистичного програмування R. При моделюванні броунівського листа використано розроблений раніше спеціальний алгоритм, що дозволяє моделювати випадкові поля з коваріаційними функціями спеціального виду, а також їх звуження на множини меншої розмірності (криві, ламані). Наведено відповідні програмні коди, а також результати моделювання.Посилання
1. Chentsov N.N. Wiener random fields depending on several parameters. Doklady AN SSSR. 1956. Vol. 46, N 4. P. 607–609 (in Russian).
2. Yeh J. Wiener Measure in a Space of Functions of Two Variables. Transactions of the American Mathematical Society. 1960. N 95. P. 433–450.
3. Allen E.J. Modeling with Ito Stochastic Differential Equations. Dordrecht: Springer, 2007. 228 p. doi: 10.1007/978-1-4020-5953-7.
4. Bovkun V.A. On models that lead to an infinite-dimensional stochastic Cauchy problem. Teor. Veroyatnost. i Primenen. 2017. Vol. 62, N 4. P. 803–804 (in Russian). doi: 10.4213/tvp5151.
5. Davar Khoshnevisan. Five Lectures on Brownian Sheet. 2001. URL: http://www.math.utah.edu/?davar.
6. Men'shikov M.V., Molchanov S.A., Sidorenko A.F. Percolation theory and some applications. J Math Sci. 1988. N 42. P. 1766–1810. URL: https://doi.org/10.1007/BF01095508.
7. Paranjape S. R., Park C. Distribution of the supremum of the two-parameter Yeh-Wiener process on the boundary. J. Appl. Probab. 1973. Vol. 10, N 4. P. 875–880.
8. Park C., Schuurmann F. J. Evaluations of barrier-crossing probabilities of Wiener paths. J. Appl. Prob. 1976. N 13. P. 267–275.
9. Park C. Representations of Gaussian processes by Wiener processes. Pacific Journal of Mathematics. 1981. Vol. 94, N 2. P. 407–415.
10. Kruglova N.V. Distribution of the maximum of the Chentsov random field. Theor. Stoch. Process. 2008. N 1. P. 76–81.
11. Klesov O.I., Kruglova N.V. Distribution of the functionals of the Chentsov R3 random field. Naukovi visti NTUU-KPI. 2007. N 6. P. 145–150 (in Ukrainian).
12. Prokhorenko N.V. Stochastic Equivalence of Gaussian Process to the Wiener Process, Brownian Bridge, Ornstein-Uhlenbeck Process. Naukovi visti NTUU-KPI. 2016. N 4. Р. 85–93 (in Ukrainian).
13. Dykhovychnyi O.O., Kruglova N.V., Virstiuk O.I. Methods for identification of probability distribution of random variables from data samples with R statistical computing language. Mathematics in Modern Technical University. 2018. N 1. Р. 91–100 (in Ukrainian).
14. Doob J.L. Heuristic approach to Kolmogorov-Smirnov theorems. Ann. Math. Statist. 1949. N 20. P. 393–403.
15. Kruglova N., Dykhovychnyi O. On the distribution of the maximum of a Brownian sheet restricted to a lower-dimensional set. Preprint arXiv: 2006.06243. 2020. 8 p.
50
6Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2021 Математичні машини і системи
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
