До питання про взаємозв’язок матриці, близької до виродження, та стійкості розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що описує фізичний об’єкт.

Анотація

Прийнято вважати, що близькість матриці до виродження однозначно визначає нестійкість системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Є лише припущення, що нестійкість чисельного розв’язання СЛАР у разі матриці, близької до виродження, породжує помилка округлення арифметичної операції додавання (віднімання). При визначенні механізму зв’язку матриці, близької до виродження, та розв’язності СЛАР, як модельний приклад аналізуються всі етапи розрахунку електричного ланцюга, а саме опис графа лінійного електричного ланцюга, складання СЛАР, що описує ланцюг, і рішення складеної системи. Вперше запропоновано провідність двополюсного компонента, розташованого між вузлами графа електричного ланцюга, використовувати як індикатор матриці, близької до виродження. Для двох варіантів входження напруги та провідності компонента індикатора у СЛАР розрахована залежність точності рішення СЛАР від значення провідності компонента індикатора. Аналіз результатів розрахунку вперше показав, що помилка округлення арифметичної операції додавання (віднімання) призводить до втрати точності або нестійкості чисельного рішення СЛАР із матрицею, близькою до виродження. Вплив помилки на обчислювальний процес чисельного вирішення системи виконується у два етапи. Вперше встановлено, що зв'язок між матрицею, близькою до виродження, і стійкістю рішення СЛАР залежить від вибору напруги компонента індикатора у векторі змінних СЛАР на етапі складання рівнянь, що описують електричний ланцюг. Зв’язок існує, якщо напруга компонента індикатора не входить у вектор змінних. Зв’язок не існує, якщо напруга компонента індикатора входить у вектор змінних, оскільки не працює другий етап функціонування помилки округлення. Пропонується алгоритм вибору змінних СЛАР, що складається, для отримання стійкого рішення системи.