The solution of boundary value problems for ordinary differential equations using the differential evolution algorithm
DOI:
https://doi.org/10.34121/1028-9763-2020-1-43-52Keywords:
differential evolution algorithm, boundary value problems for ordinary differential equations, approximate solutions, quadratic deviation, Chebyshev deviation, алгоритм диференціальної еволюції, крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь, наближені розв’язки, квадратичне відхилення, чебишовське відхиленняAbstract
In the paper considers a boundary value problem for an ordinary differential equation of the nth order. As an approximate solution to the problem, it is selected a function which for arbitrary values of parameters included in it exactly satisfies the boundary conditions, and when the function is substituted into the equation, a differential residual is formed. To search optimal values of the parameters at which the minimum of a deviation function of the differential residual from zero is achieved, it is proposed an approach using the differential evolution algorithm. The approach can also be extended to a case when the approximate solution does not satisfy exactly the boundary conditions for arbitrary values of its parameters and, in addition to the differential residual, there are also residuals of the boundary conditions. Differential evolution algorithm is used to solve multidimensional optimization problems. It simulates basic evolutionary processes in nature: crossover, mutation, selection. It is one of the best evolutionary algorithms stably finding function global minimum (maximum) in minimum time. Unlike the standard scheme of differential evolution, in the proposed algorithm the evolution occurs only due to mutation and selection operations, crossover doesn’t use. This allows us to simplify the algorithm without compromising the results accuracy. The algorithm allows to solve both linear and nonlinear boundary value problems without making changes and not applying numerical methods, and it also allows to use different norms for the deviation function (quadratic, Chebyshev, etc.). The proposed algorithm is implemented in Matlab. Results of computational experiments to solve test boundary value problems for differential equations of the second and fourth orders are presented. They show that approximate solutions of these problems obtained by the differential evolution algorithm are in good agreement with their exact solutions.References
Storn R., Price K. Differential evolution – a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces. Journal of Global Optimization. 1997. Vol. 11. P. 341–35.
Varadarajan M., Swarup K.S. Differential evolution approach for optimal reactive power dispatch. Applied Soft Computing. 2008. Vol. 8, N 4. P. 1549–1561.
Das S., Konar, A. Automatic Image Pixel Clustering with an Improved Differential Evolution. Applied Soft Computing. 2009. Vol. 9, N 1. P. 226–236.
Develi I. A new approximation based on the differential evolution for the gaussian Q-function. International Journal of Innovative Computing, Information and Control. 2012. N 10. P. 7095–7102.
Vakal L.P. Seeking Optimal Knots for Segment Approximation. Journal of Automation and Information Sciences. 2016. Vol. 48, N 11. P. 68–75.
Вакал Л.П., Вакал Є.С. Розв’язання перевизначеної системи трансцендентних рівнянь із використанням диференціальної еволюції. Математичне та комп’ютерне моделювання. Технічні науки. 2017. Вип. 15. С. 24–30.
Вакал Л.П. Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціальної еволюції. Математичні машини і системи. 2017. № 1. С. 90–96.
Вакал Л.П., Вакал Є.С. Знаходження оптимальних параметрів емпіричних формул декількох змінних за допомогою еволюційних алгоритмів. Математичні машини і системи. 2018. № 3. С. 109–116.
Ясницький Л.Н., Гладкий С.Л., Никитенко И.И., Тарасов М.А. Искусственный интеллект в решении краевых задач проектной инженерии. URL: http://www.permai.ru/files/projects/P03.pdf.
Abu-Arqub Omar, Abo-Hammour Zaer, Momani Shaher. Application of continuous genetic algorithm for nonlinear system of second-order boundary value problems. Applied Mathematics & Information Sciences. 2014. Vol. 8, N 1. P. 235–248.
Vakal L.P. Using genetic algorithm for solving boundary value problems. Journal of Automation and Information Sciences. 2015. Vol. 47, N 8. P. 52–62.
Вакал Л.П. Генетичні алгоритми як інструмент розв’язання нелінійних крайових задач. Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015. № 14. С. 16–23.
Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. 368 с.
Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.
Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987. 248 с.
Vakal L.P. Solving uniform nonlinear approximation problem using continuous genetic algorithm. Journal of Automation and Information Sciences. 2016. Vol. 48, N 6. P. 49–59.
Каленчук-Порханова А.О., Вакал Л.П. Застосування найкращої чебишовської апроксимації для моделювання деяких фізичних процесів. Математичне та комп’ютерне моделювання. Технічні науки. 2010. Вип. 4. С. 111–118.
Vakal L.P., Kalenchuk-Porkhanova A.A., Vakal E.S. Increasing the Efficiency of Chebyshev Segment Fractional Rational Approximation. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. Vol. 53, N 5. P. 759–765.
Довгий Б.П., Вакал Є.С., Вакал Ю.Є., Попов А.В. Використання математичного пакета matlab для розв’язування прикладних задач. Київ: Фітосоціоцентр, 2012. 78 с.
Моршнева И.В., Овчинникова С.Н. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод стрельбы. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 2003. 29 с.
60
13Published
Issue
Section
License
Copyright (c) 2020 Mathematical Machines and Systems
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
