Розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь за алгоритмом диференціальної еволюції.

Анотація

У статті розглядається крайова задача для звичайного диференціального рівняння n-го порядку. Як наближений розв’язок задачі вибирається функція, що для довільних значень параметрів, які входять в неї, точно задовольняє крайові умови, а при підстановці функції у рівняння утворюється диференціальна нев’язка. Для пошуку оптимальних значень параметрів, на яких досягається мінімум функції відхилення диференціальної нев’язки від нуля, пропонується підхід із використанням алгоритму диференціальної еволюції. Даний підхід може бути поширений також на випадок, коли для довільних значень параметрів наближений розв’язок не задовольняє точно крайові умови і, окрім диференціальної нев’язки, з’являються нев’язки крайових умов. Алгоритм диференціальної еволюції служить для розв’язання задач багатовимірної оптимізації. В ньому моделюються основні еволюційні процеси в живій природі: схрещування, мутація, селекція. Це один із кращих еволюційних алгоритмів, який стабільно знаходить глобальний мінімум (максимум) функції за мінімальний час. На відміну від стандартної схеми диференціальної еволюції в алгоритмі, запропонованому у статті, еволюція здійснюється тільки за рахунок операцій мутації та селекції, без використання схрещування. Це сприяє спрощенню алгоритму без погіршення точності результатів. Алгоритм дозволяє розв’язувати як лінійні, так і нелінійні крайові задачі без внесення змін і залучення чисельних методів, а також використовувати різні норми для функції відхилення (квадратичну, чебишовську та ін.). Запропонований алгоритм реалізовано в Matlab. Наводяться результати обчислювальних експериментів із розв’язання низки тестових крайових задач для диференціальних рівнянь другого і четвертого порядків. Вони показують, що знайдені за алгоритмом диференціальної еволюції наближені розв’язки вказаних задач добре узгоджуються з їхніми точними розв’язками.